コンサルタントはきょうも語る

現役経営コンサル兼ピアニストが仕事術とピアノと減量と英語と沖縄とかについて語ります

p進数の世界観

最近勉強しているp進数がなんか自分の世界観を変えるような気がしている。

「p進数」をGoogle先生に尋ねると、とてもアカデミックな説明が出てくる。

p進数 - Wikipedia

む、むずかしい・・・

明らかに「X進法」(たとえば2進法)とは違うものである。

しかしこれを使うとこれまで証明が難しかった数学の定理が証明できるパワフルなツールらしい。

こちらの解説のほうがまだわかりやすい(がやはりむずかしい)。

peng225.hatenablog.com

我々は日常10進数の世界に生きており、10進数でものを考えているから、この新たな数の体系になじめなくてもそれは当然のことであろう。

しかしもしわれわれがp進数の世界に生きていたらどうなるのか。

いや、p進数(pは素数なので2進数、3進数、5進数、7進数、11進数、13進数・・・と無限にある)は10進数の世界と並行して存在するパラレルワールドなのである。

このパラレルワールドは不思議な世界である。

p進数の世界は距離の概念がまったく10進数の世界とは異なる。

たとえば1と2の間の「距離」は2-1=1である。10と20だったら20-10=10という風に2数間の差(の絶対値)をとればいい。これはアルキメデス距離と正式にはいうらしい。

これに対して、非アルキメデス距離というのがp進数の世界のような「超距離空間」にはあるのだそうである。

p進数の世界における距離の定義は、ある2数の差がpの累乗数(m乗)と有理数の積としてあらわされた場合、p^(-m)で表される。これをp進距離という。

ん?と思ったが、なぜそうなるか、ではなく、こう定義した、ということである。

たとえば、3進数の世界において、1と2の差は3の0乗(=1、この場合m=1)なので、p進距離は

p^(-m)=3^(-0)=1

である。

では1と4の距離はというと、1と4の差は3なのでm=1、p^(-m)=3^(-1)=0.3333333・・・となり、1と2の場合よりp進距離は短くなる。

同様に、1と10の距離は差が9なのでm=2、3^(-2)=0.1111111・・・とさらに短くなる。

すごい。

10進数の世界とはまったく距離の概念が違う。

1からはるか遠く(10進数の世界では)にたとえば1+3^100という点がある。1とこの間の距離はなんと3^(-100)というとてつもなく小さい数字、すなわちとても近くにある。そしてこれをたとえば㎞で表したら観測できる宇宙の中には存在しない地点なのである。

これはまるで特定の地点間が遠いようにみえて実はものすごく近い場合があり、そしてそれはp進数によって異なるがpは無限にあるので遠いようで近い点が自分の近くに無数にあるのである。

ワープ?

すごいことを知ってしまった。

数学者の方々はこれを知っているが一般人には説明してもわかってもらえないので説明してくれない。説明しようとすると先のWikiのようにとんでもなく難しい(とても日本語とは思えない)説明にならざるを得ない。数学とは抽象化の学問だから致し方ないがこのようなすごいことを数学者は考えているのである。未来はどこにあるのか、我々はどこにいくのか、世界はどうなっているのかを聞くなら数学者に聞くべきである。